第一章 魔方和洛书
魔方通过转动能变化出无穷无尽的花样，然而转动是宇宙间最基本的模式。
更令人惊奇的是，魔方的概念和思想起源于中国5000年前的洛书。
§1.1魔方的起源
《易传·系辞》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说。传说距今七八千年前的伏羲时代，一龙马从黄河跃出，其身刻有“一六居下，二七居上，三八居左，四九居右”的数字，此为河图。今河南洛阳孟津老城西北之负图寺（亦名伏羲庙），据说为当年“龙马负图”之处。
大禹治水时，一神龟从洛河爬出，背上的数字排列为“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央”，这就是洛书，如图1.1所示。今河南洛宁洛河岸边西长水村旁，有“洛出书处”的古碑，据说为当年“神龟贡书”之处。河图洛书奇妙地组合排列了9个基本数字，涵盖了自然界周期性和对称性的特征，反映出东方哲学思想的精髓。
2001年8月8日新华社报道，在安徽凌家滩出土的一块玉片和一只玉龟，经测定制作于五千三百年前的新石器时代。二者紧紧叠压在一起，形象是龟托着玉。玉龟分背甲和腹甲，由孔和暗槽相连。玉片呈长方形，正面刻有两个同心圆，小圆内刻有方心八角星纹；大圆对着长方形的四角各刻有一圭形纹饰；两圆之间被平分为八等份，每等份雕刻一圭形纹饰。这与文献记载中的“河图洛书”相吻合。有关“龟背图”的传说较早记载于春秋时期的《尚书》，说的是远古的一天，一只大龟驮着洛书出现在中国北方的洛河。河图洛书后来成为《周易》最主要的来源之一。
图1.1 洛书
1.1.1 洛书走入数学
1977年，在我国安徽省阜阳地区出土了一件汉代文物，称为“太乙九宫占盘”，如图1.2所示。其实盘上的图就是洛书，据此，洛书可简化为图1.3的形式，称为九宫图。由于古人给洛书赋予了浓厚的神话色彩，从而引起了后人对九宫图的极大兴趣，作了大量的研究，其结果形成了中国古代数学的重要内容—幻方。最早把九宫图引入数学的，是汉代（公元2世纪）的徐岳。徐岳在他的《数术记遗》中讲到14种算法，其中之一是九宫算：“九宫算，五行参数，犹如循环”。到了北周（公元557年），甄鸾在《数术记遗》对九宫图算作了一段注释：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。这段话和前面关于洛书的传说是一致的。从此以后，洛书在数学上就被称作九宫图了。奇怪的是，自汉代徐岳把洛书引入到数学后，除北周甄鸾的注解外，再无人问津。这
图1.2 太乙九宫占盘
图1.3 九宫图
种局面一直持续到宋代（公元13世纪），沉默了700多年。这种沉默绝不是偶然的，与这一时期洛书的失传有关。
根据中国的易学研究史，洛书在宋代之前，曾失传了2000多年。直到宋代，华山道士陈抟（？—989年）才将密藏的洛书（还有河图等）公诸于世。显然，陈抟做了一件对中华民族非常有意义的事，但却遭到了所谓疑古派（认为洛书系陈抟伪造）的猛烈攻击。疑古派的攻击不但没有扼杀洛书，相反，洛书的捍卫者们却发展成为强大的图书派，这就引发了一场持续了900年的大论战。直到1977年安徽出土了汉代的太乙九宫占盘，论战的胜负才由历史的铁证所裁决。图书派的胜利，确立了洛书河图为中国文化之源的理论。
宋代洛书的复出，重新鼓舞了人们对九宫图的研究。杨辉的《续古摘奇算法》（1275年）是这一时期九宫图研究的辉煌成果。杨辉把图1.4的九宫图称为纵横图，现在人们则称其为幻方或魔方（Magic square），是一种数学上通用的叫法。幻方必须满足各方向数字和都相等的条件。这个条件对于图1.4的三阶幻方就是：
横线：4+9+2=3+5+7=8+1+6=15；
纵线：4+3+8=9+5+1=2+7+6=15；
对角线：4+5+6=2+5+8=15。
图1.4 三阶幻方
杨辉对幻方进行了相当深入的研究，用他的换位方法，很快就可以把三阶幻方编制出来。杨辉编制三阶幻方的方法是:九子斜排，上下对易，左右相更（即对角二数各对调），四维挺出（即四边中央的数向外移，变斜排为正排），如图1.5所示。在《续古摘奇算法》一书中，杨辉还编制出4至10阶幻
图1.5 杨辉方法
方。杨辉之后，明清两代都有关于幻方的著作。例如明代程大位的《算法统宗》（1593年），清代方中通的《数度衍》（1661年）。值得一提的是，清代保其寿在他的《碧奈山房集》中创造出了立体幻方。有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体等。如图1.6是一个正六面体的立体幻方。保其寿立体幻方的特点是：“8子作24子用，每面4子和各18”。
图1.6 立体幻方
由上可见，幻方或魔方的概念起源于中国古代洛书，而且人们对幻方的研究一直在持续着。应该指出的是，洛书是中国5000年前的产物，被视为中华文明之谜。1988年，韩永贤似乎解开这个千古之谜。他认为洛书是方位图，也就是上古游牧时代刻在石头上的罗盘（见1989年1月25日《人民日报》）。由此可见，古代的洛书是转动着的，就像今天使用指南针需要转动一样。
1.1.2 幻方走出数学
今天，数学上的幻方也转动起来了，这就是我们现在玩的幻立方体，也就是大家习惯称呼的魔方。由于它是匈牙利人鲁毕克（Rubik）发明的，因此，人们也称其为鲁毕克魔方。从中国古代洛书到现代鲁毕克魔方的演变和发展，有以下一些事实根据。
（1）九宫图
起源于洛书的九宫图，数学上称其为幻方。九宫图有 个宫，所以也称为三阶幻方，如图1.7(a)。图1.7(b)是把图1.7(a)中的各宫减去1得到的。显然，图1.7(b)仍然满足幻方的定义，即
横线：3+8+1=2+4+6=7+5=12
纵线：3+2+7=8+4=1+6+5=12
对角线：1+4+7=3+4+5=12
所以，图1.7(b)仍是一个幻方。
需要指出的是，图1.7(b)是一个实物化的幻方。这种实物化的幻方是中国古代民间出现的一种游戏棋，叫做重排九宫，有时也称为8子棋。
图1.7 九宫图和重排九宫
（2）重排九宫
重排九宫大约出现在中国元代（公元13世纪）之前，是在九宫图基础上发展起来的一种智力游戏。在九宫棋盘上，放置8个棋子，通过移动棋子（相当于“华容道”的移子法，其实华容道是重排九宫的一种翻版），使8个棋子排列成另外一种图案。例如，通过移动棋子，从图1.8(a)变到图1.8 (b)。如果从图1.8 (a)变到图1.8(c)，这就是一种魔方的玩法，图1.8 (c)称为8子棋魔方。8子棋的棋子数为8，不满足 规则；但是棋盘上却有 个宫，我们称8子棋是一种准三阶一维魔方。
图1.8 重排九宫游戏
重排九宫的发明，真正标志着魔方走出了数学。重排九宫的花样变化是通过棋子的移动来实现的，而现代鲁毕克魔方是通过转动来变换花样的。从数学的角度看，重排九宫和现代魔方的根本差别在于维数和力学构造。据《独粒钻石和华容道》记载，在元代（公元13世纪）重排九宫传到西方，也就是说，中国的魔方是13世纪走向世界的。外国人在重排九宫的基础上，发明了15子棋。
（3）15子棋
如图1.9 (a)是宋代杨辉编制的四阶幻方。图1.9 (b)是由图1.9 (a)各宫减去1得到的，满足幻方的定义，即
横线：1+15+12+2=10+4+7+9=6+8+11+5=13+3+14=30
纵线：1+10+6+13=15+4+8+3=12+7+11=2+9+5+14=30
对角线：1+4+11+14=2+7+8+13=30
图1.9 四阶幻方和15子棋
由于图1.9 (b)不满足 规则，因此，我们称其为准四阶幻方或15子幻方。如果把图1.9 (b)的15个数字制作成15个棋子，这就是15子棋了。15子棋实质上是8子棋的一种发展。
15子棋是19世纪70年代由美国人萨木埃·劳德（Sam Loyd）发明的。15子棋也称为15个数的游戏，曾经流行于全世界，并在1880年达到狂热的顶点，不过不久就被数学所征服。15子棋的玩法和重排九宫一样，也是通过移动，把搅乱了的编号棋子复位，使之回到它们原来按顺序编号的适当位置上。
从下面的描述中，我们可以看出15子棋对世界的影响之大，并且使得人们在后来发明新的游戏（或玩具）时，自觉或不自觉地要以15子棋为基本参考点。
德国数学家阿连斯写到：“大约半个世纪以前—19世纪70年代末，美国出现了15子棋的游戏，这种游戏很快就流传开了，无数棋迷被它弄得神魂颠倒……”
“大洋这一边的欧洲，此时也出现了同样的情况。在巴黎，这种游戏在露天里，在林荫道上都找到了安身之所……”
15子棋的发明者劳德描述道：“在70年代初，我是怎样使整个世界都为一盒活动棋子大伤脑筋的。一个小盒子里，放有15颗棋子，按照正规顺序排列，如图1.10(a)所示。如果只有14和15两个棋子互换了位置，如图1.10 (b)，要解的问题是：逐一移动这些棋子，把14和15两棋子的位置更正过来，使所有棋子都排列成正常的位置。当时拿出了1000美元奖金，准备奖给能够正确解答此题的第一个人。尽管人们都孜孜不倦地努力求解，但谁也没有得到这份奖励”（数学家阿连
图1.10 15子棋游戏
斯证明，图1.10 (b)是一种不可解的排列）。人们议论着各种趣闻，什么商人为此忘记开张营业啦，一些高官显宦通宵达旦地停留在路灯底下寻找答案啦，船员由于摆弄这个游戏竟然把船搁浅到沙滩上，火车司机把列车开过了站等等。著名作家马克吐温在他的小说《美国的逐鹿者》里，也有过类似的描述。
由于15子棋有这么大的魔力，因此，人们也把15子棋叫做魔块。重排九宫和15子棋都可以叫做魔方，前者是准三阶一维魔方，后者是准四阶一维魔方。
1.1.3 从一维到三维
15子棋问题被德国数学家阿连斯彻底解决后，便意味着一维魔方的阶数没有再增加的必要了。因此，魔方的发展方向只能是维数的增加，也就是说，二维或三维魔方的出现已经是不可避免的事。而20世纪70年代匈牙利的鲁毕克和日本的石毛（Terutoshi Ishige）几乎同时独立地发展出三维转动魔方就充分说明了这一点。
在三维转动魔方出现之前，中国清代学者保其寿（公元17世纪）就已经提出了立体幻方的概念，并且在数学上编制出了这种立体幻方，如图1.11 (a)。图1.11 (b)是用数字块表示的立体幻方，这种数学上的魔方是二阶三维的，不能转动，所以是组合魔方。这种思想后来被用于“杂色立方体游戏”。
图1.11 立体幻方
1879年，波兰数学家斯特因豪斯（H. Steinhaus）在他的《数学万花镜》中记载了一种立方体各面涂颜色的游戏。1893年，英国数学家马克马洪（P. A. MacMahon）进行过类似的研究。1948年杂色立方体块游戏被作为商品上市销售。杂色立方体块游戏是这样的：立方体可以涂上六种颜色，使得它的每个面都有一种不同的颜色。这样的涂法可以有30种不同的花样。如果随便从这30个立方体中拿出一个，一定能够找出另外的8个，这8个立方体可以拼成这样一个大立方体，它的每个面都由同样颜色的小立方体拼成，而且整个大立方体各面颜色的排法，正好和最先所拿出的小立方体一样。
由此可见，杂色立方体游戏实质上是一个组合魔方。从组合魔方到可转动魔方，这里只有一个需要解决的问题—力学结构问题。
在转动魔方出现之前，相继有一些非常类似的玩具问世。1960年，美国人威廉（William Gustafson）发明了一个立方体拼装玩具，于1963年获得美国专利。1970年，英国人弗兰克（Frank Fox）发明了一个 魔球，于1974年获得英国专利。同年，美国人拉里（Larry Nichols）发明了一个 立方体，于1972年获得美国专利。
1.1.4 转动魔方的发明
1974年春天，鲁毕克（Erno Rubik）获得制造转动魔方的灵感，同年夏天，鲁毕克做出了灵感中的转动魔方的雏形，1975年提交了转动魔方的专利申请。
鲁毕克是布达佩斯工艺美术学院的教师，讲授平面图与结构、内部工程设计图、家俱平面图与形象图、外形研究与画法几何学。鲁毕克生于1944年。父亲是一位机械工程师、滑翔飞机设计师，是一位颇有名气的专家。母亲是一位作家、诗人、艺术家。鲁毕克起初学习雕刻艺术，但后来改学建筑学。鲁毕克在教学和与学生的接触中常常遇到同样的一个问题：学生习惯于对平面问题进行思维，但是对空间问题上的复杂联系，理解起来却困难重重。为了培养学生对立体的想象力，鲁毕克起初设计了一个极其简单的“魔方”，作为自己给学生上课的教具。这个简单魔方的构成为3×3，不过只有两层，尽管这样，总比没有好。这种简易魔方也可以朝任何方向转动，通过转动，人们能解各种各样的“多米诺”骨牌题。简易魔方虽然总是黑、白两种颜色交替排列，而且只有两个面，但是，在锻炼人们对空间进行思维的能力方面，它也能起到一定作用。后来，鲁毕克经过精心研究，把简易的“多米诺魔方”以两层改为三层，就成了现在这种魔方，他申请获得专利权，时间是1975年1月30日。就在鲁毕克完成魔方不到一年，日本东京附近的一位自学成才的工程师石毛（Terutoshi Ishige），也完全独立地完成了和鲁毕克差不多一样的设计，他申报日本专利的时间是1976年。这种不谋而合的偶然事件说明了魔方出现的必然性。
我国不仅是研究幻方最早的国家，也是应用幻方最早的国家。我国古代已经把幻方的思想应用于宫室设计和建筑。国外幻方的出现是公元2世纪的事，公元130年希腊士麦拿人塞翁（Theon）才在他的一本著作中第一次提到幻方，比中国的洛书要迟几千年。至于对幻方的研究，也是中国最早。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒（ ）才在他的一幅版画上绘制出了完整的四阶幻方。这比杨辉迟了200多年，而且远不如杨辉研究的深入。
由此可见，魔方的概念及其思想起源于中国5000年前的洛书。而且经历了九宫图、重排九宫、15子棋、立体幻方、组合魔方等发展过程。所以，我们可以说，现代鲁毕克魔方就是转动着的洛书。
